代数

另见: 微积分/函数, 离散数学/函数和关系

代数

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函数

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函数作为盒子[编辑 | 编辑源代码]

函数是另一种用数学方法描述某些事物的途径。它们通常被描述为一个两端开口的盒子中的机器；你从一端放入一些东西，在中间发生一些事情，然后从另一端出来一些东西。函数是盒子内部的机器，它由它对任何输入执行的操作定义。

假设机器有一个刀片，它会将你放入的任何东西切成两半，并将其中一半从另一端送出。如果你放进去一根香蕉，你就会得到半根香蕉。如果你放进去一个苹果，你就会得到半个苹果。

关于这台机器的一个好问题可能是，另一半水果发生了什么？但是，由于这是代数，进入和走出函数的东西将是数字，因此我们很确定盒子不会被数字填满并破裂。让我们将该函数定义为接受你的输入并将其切成两半，即除以二。如果你放入 2，你将得到 1。如果你放入 57，你将得到 28.5。函数机器允许我们改变表达式。函数通常用单个字母命名。我们将这个叫做 h，代表 half（一半）。（我们选择的字母没有什么特别之处——我们也可以称这个函数为 f。这个字母不必代表任何东西。）

现在我们需要符号。要将 2 放入函数中，我们写 h ( 2 ) {\displaystyle h(2)} （读作 h of 2）。我们知道

h ( 2 ) = 1 {\displaystyle h(2)=1}

我们还可以计算

h ( 57 ) = 28.5 {\displaystyle h(57)=28.5}

使用代数符号，我们可以描述这台机器的功能为

h ( x ) = x 2 {\displaystyle h(x)={\frac {x}{2}}}

与其列出我们可以放入机器的所有东西，我们用变量 x {\displaystyle x} 来表示它们。当我们写 h ( x ) {\displaystyle h(x)} 时，我们的意思是我们将 x {\displaystyle x} 送入机器，它被切成两半。使用这种形式，我们不必计算当我们放入 57 个苹果或橘子时从机器出来的半数。我们知道，当我们将 57 或任何东西放入我们的机器时，只有 28.5 这些东西会从另一端出来。当使用代数符号来指定关系时；我们创建了一些称为代数函数定义的东西。（这个例子说明了数学与科学和工程之间的区别。由于这是一个假想的机器，我们只需要指定从盒子另一端出来的是什么。在真实的机器中，我们还需要考虑如何处理没有从另一端出来的部分）。

练习题[编辑 | 编辑源代码]

在指数中使用 ^

对于第 1-6 题，使用代数来定义所描述的函数。Example: x) Three-quarters of a number

Answer:

f

(

x

)

=

3

x

/

4

{\displaystyle f(x)=3x/4}

1 一个数字的五分之四

2 一个数字加上它自身的五倍

3 一个数字加上该数字的三倍

4 一个数字乘以它自身七次，然后减去该数字

5 一个数字减去另一个数字的三倍

6 一个数字的一半乘以另一个数字加三

将数字通过函数盒的过程称为对该数字求函数值。对于第 7-22 题，求出给定数字的所描述函数的值。Example: x)

f

(

x

)

=

3

x

−

4

{\displaystyle f(x)=3x-4}

a)

f

(

0

)

{\displaystyle f(0)}

b)

f

(

4

)

{\displaystyle f(4)}

c)

f

(

1

/

3

)

{\displaystyle f(1/3)}

d)

f

(

1

/

2

)

{\displaystyle f(1/2)}

Answer: a)

f

(

0

)

=

3

(

0

)

−

4

=

−

4

{\displaystyle f(0)=3(0)-4=-4}

b)

f

(

4

)

=

3

(

4

)

−

4

=

8

{\displaystyle f(4)=3(4)-4=8}

c)

f

(

1

/

3

)

=

3

(

1

/

3

)

−

4

=

−

3

{\displaystyle f(1/3)=3(1/3)-4=-3}

d)

f

(

1

/

2

)

=

3

(

1

/

2

)

−

4

=

−

5

/

2

{\displaystyle f(1/2)=3(1/2)-4=-5/2}

f ( x ) = 10 x {\displaystyle f(x)=10x}

7

f ( 1 ) = {\displaystyle f(1)=}

8

f ( 1 / 2 ) = {\displaystyle f(1/2)=}

9

f ( 3.5 ) = {\displaystyle f(3.5)=}

10

f ( − 1 ) = {\displaystyle f(-1)=}

g ( x ) = 3 x − 1 {\displaystyle g(x)=3x-1}

11

g ( 4 ) = {\displaystyle g(4)=}

12

g ( 2 / 3 ) = {\displaystyle g(2/3)=}

13

g ( 1.1 ) = {\displaystyle g(1.1)=}

14

g ( − 3 ) = {\displaystyle g(-3)=}

h ( x ) = x 2 {\displaystyle h(x)=x^{2}}

15

h ( 7 ) = {\displaystyle h(7)=}

16

h ( 3 / 5 ) = {\displaystyle h(3/5)=}

17

h ( 5.3 ) = {\displaystyle h(5.3)=}

18

h ( − 6 ) = {\displaystyle h(-6)=}

i ( x ) = 1 / ( x − 4 ) {\displaystyle i(x)=1/(x-4)}

19

i ( 5 ) = {\displaystyle i(5)=}

20

i ( 2 / 3 ) = {\displaystyle i(2/3)=}

21

i ( 7.25 ) = {\displaystyle i(7.25)=}

22

i ( 0 ) = {\displaystyle i(0)=}

函数作为关系[edit | edit source]

函数也可以被认为是关系的子集。关系是集合中数字之间的联系。

换句话说，你输入的每个数字都与你输出的每个数字相关联。区别在于在函数中，每个“输入”数字都与一个“输出”数字相关联，而在关系中，“输入”数字可能与多个或零个“输出”数字相关联。这是关于函数的一个重要事实。请注意，上面图表中所示的关系不是函数，因为它不满足此要求，不像下面第二个图表中所示的关系，它是一个函数。

所有函数都是关系。并非所有关系都是函数。

练习题[edit | edit source]

以下哪些定义是函数，哪些是关系

1 f ( x ) = x + 2 {\displaystyle f(x)=x+2}

函数

关系

2 g ( x ) = x − 2 {\displaystyle g(x)=x-2}

函数

关系

3 h ( x ) = x ∗ 2 {\displaystyle h(x)=x*2}

函数

关系

4 i ( x ) = x / 2 {\displaystyle i(x)=x/2}

函数

关系

以下哪些定义是函数，哪些是关系

5 j ( x ) = x + x {\displaystyle j(x)=x+x}

函数

关系

6 k ( x ) = x − x {\displaystyle k(x)=x-x}

函数

关系

7 l ( x ) = x ∗ x {\displaystyle l(x)=x*x}

函数

关系

8 m ( x ) = x / x {\displaystyle m(x)=x/x}

函数

关系

9 你能描述问题 1-8 中的函数吗？它们有什么区别？(请在纸上作答)

定义域和值域[edit | edit source]

定义域[edit | edit source]

函数的定义域是指该函数定义的“输入”数字的集合。定义域是函数定义的一部分。在上图中的函数中，定义域是{-1,1,7,1/2}。

自然定义域是指代数定义的函数中，函数定义的数字的集合。

在大多数代数公式中，x 通常是与定义域相关的变量。

例子

函数 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} 的定义域是 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} ，因为平方根函数仅在正数时有定义（假设我们只处理实数）。

值域[edit | edit source]

函数的值域是指对于给定输入，方程的结果或解的集合。一个真正的函数对于每个定义域值只有一个结果。

在大多数代数公式中，y 通常是与值域相关的变量。因此，它也可以表示为f(x)，表示它的值是x 的函数。

例子

函数 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 的值域是 y ≥ 0 {\displaystyle y\geq 0} ，因为数字的平方总是正数。

从定义域和值域的角度看函数[edit | edit source]

同时考虑定义域和值域，函数是指任何数学公式，对于每个输入值都产生一个且仅一个结果。因此，可以说在一个有效的函数中，定义域 (x) 和值域 (y) 具有多对一的关系，因此对于每个给定的定义域值，只有一个值域值作为结果，但反过来不一定如此。这是有道理的，因为结果可以重复，但输入不能重复。

因此，如果 x 是水平方向，y 是垂直方向，那么以 y 为自变量的函数（例如 y = mx + b）将产生一组结果，使得如果在 图 上的任何点处用垂直线与之相交，它将只穿过图形一次。渐近函数（至少有一个未定义结果）也被认为是有效的，因为它没有穿过图形的多个点。这被称为“垂直线”测试。

定义域和值域这两个术语可以应用于所有关系，而不仅仅是函数。关系是指在一个定义中，定义域中的一个元素映射到值域中的多个元素。我们使用定义域和值域这两个术语来定义函数和关系之间的区别。

函数术语[编辑 | 编辑源代码]

在谈论或书写函数时，不同的术语被用来描述函数如何工作或它们的功能。

f of x 术语[编辑 | 编辑源代码]

当我们写 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 时，我们说 f of x。因此，如果我们有一个用方程 g ( x ) = x + 2 7 {\displaystyle g(x)={\frac {x+2}{7}}} 定义的函数，那么我们说

g of x 等于 x 和 2 的和除以 7。或者g of x 是 x 加 2 全部除以 7。

当我们将一个值（比如 5）代入函数中的 x 时，我们写 g ( 5 ) = 5 + 2 7 = 7 7 = 1 {\displaystyle g(5)={\frac {5+2}{7}}={\frac {7}{7}}=1} ，但我们说

g of 5 等于 1.

代数符号是数学家表达由算术运算符定义的关系的最简单方法，如 + , − . / ∗ , {\displaystyle +,-./*,} 指数和根式。一旦定义了其中一些函数，用函数名和上述函数值进行引用就更容易了。

函数 "value of" 术语[编辑 | 编辑源代码]

如果我们有一个用方程 g ( x ) = x + 2 7 {\displaystyle g(x)={\frac {x+2}{7}}} 定义的函数，那么我们说 g 在 x 处的函数值是 x 和 2 的和除以 7。 这样， g ( 5 ) = 5 + 2 7 = 7 7 = 1 {\displaystyle g(5)={\frac {5+2}{7}}={\frac {7}{7}}=1}

分段函数[编辑 | 编辑源代码]

一个函数，其定义取决于输入。

绝对值函数[编辑 | 编辑源代码]

f(x)=|x|

或者

f ( x ) = { x if x ≥ 0 − x if x < 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}}

可以将 | x | {\displaystyle |x|} 解释为 x 和 0 之间的无向距离（始终是非负的）。继续， | x − y | {\displaystyle |x-y|} 可以解释为数轴上数字 x 和 y 之间的距离。

偶函数和奇函数[编辑 | 编辑源代码]

偶函数[编辑 | 编辑源代码]

偶函数定义为一个函数 f {\displaystyle f} ，满足 f ( − x ) = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=f(x)} 。从几何意义上讲，偶函数可以定义为关于 y 轴（穿过原点的垂直线）具有镜像对称性的函数。

偶函数的一个例子是 h ( x ) = x 2 {\displaystyle h(x)=x^{2}} ，因为 f ( 5 ) = 25 = f ( − 5 ) {\displaystyle f(5)=25=f(-5)} ，并且因为对于所有实数 x，都有 f ( x ) = x 2 = f ( − x ) {\displaystyle f(x)=x^{2}=f(-x)} 。

奇函数[edit | edit source]

奇函数定义为一个函数 f {\displaystyle f} ，满足 f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle f(-x)=-f(x)} 。从几何意义上讲，奇函数可以定义为关于原点具有 180 度旋转对称性的函数。

一个 奇 函数的例子是 f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} ，因为对于所有实数 x，都有 f ( x ) = x 3 = − ( ( − x ) 3 ) = − f ( − x ) {\displaystyle f(x)=x^{3}=-((-x)^{3})=-f(-x)} ，例如 f ( 2 ) = 2 3 = 8 = − ( ( − 2 ) 3 ) = − ( − 8 ) = − ( ( − 2 ) 3 ) = − f ( − 2 ) {\displaystyle f(2)=2^{3}=8=-((-2)^{3})=-(-8)=-((-2)^{3})=-f(-2)}

复合函数[edit | edit source]

复合函数 h {\displaystyle h} 可以定义为两个函数 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 的复合，记为 h ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle h(x)=f(g(x))} （读作 h of x 等于 f of g of x）或 h ( x ) = ( f ∘ g ) ( x ) {\displaystyle h(x)=(f\circ g)(x)} 。

例子

Let

f

(

x

)

=

2

x

+

1

{\displaystyle f(x)=2x+1}

g

(

x

)

=

5

x

−

3

{\displaystyle g(x)=5x-3}

h

(

x

)

=

f

(

g

(

x

)

)

{\displaystyle h(x)=f(g(x))}

h

(

x

)

=

f

(

5

x

−

3

)

{\displaystyle h(x)=f(5x-3)}

h

(

x

)

=

2

(

5

x

−

3

)

+

1

{\displaystyle h(x)=2(5x-3)+1}

h

(

x

)

=

10

x

−

6

+

1

{\displaystyle h(x)=10x-6+1}

∴

h

(

x

)

=

10

x

−

5

{\displaystyle h(x)=10x-5}

例子

Let

f

(

x

)

=

−

16

−

x

{\displaystyle f(x)=-{\sqrt {16-x}}\,}

g

(

x

)

=

4

x

2

{\displaystyle g(x)=4x^{2}\,}

(

f

∘

g

)

(

x

)

=

f

(

4

x

2

)

{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(4x^{2})\,}

(

f

∘

g

)

(

x

)

=

−

16

−

(

4

x

2

)

{\displaystyle (f\circ g)(x)=-{\sqrt {16-(4x^{2})}}\,}

(

f

∘

g

)

(

x

)

=

−

4

(

4

−

x

2

)

{\displaystyle (f\circ g)(x)=-{\sqrt {4(4-x^{2})}}\,}

(

f

∘

g

)

(

x

)

=

−

4

(

4

−

x

2

)

{\displaystyle (f\circ g)(x)=-{\sqrt {4}}{\sqrt {(4-x^{2})}}\,}

(

f

∘

g

)

(

x

)

=

−

2

4

−

x

2

{\displaystyle (f\circ g)(x)=-2{\sqrt {4-x^{2}}}\,}

Domain:

−

2

≤

x

≤

2

{\displaystyle -2\leq x\leq 2}

Range:

−

4

≤

y

≤

0

{\displaystyle -4\leq y\leq 0}

反函数[edit | edit source]

函数 g {\displaystyle g} 是一个一对一函数 f {\displaystyle f} 的反函数，当且仅当以下条件成立

g ( f ( x ) ) = x {\displaystyle g(f(x))=x\,}

f ( g ( x ) ) = x {\displaystyle f(g(x))=x\,}

函数 f {\displaystyle f} 的逆函数用 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 表示。

从几何角度来看， f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 是 f {\displaystyle f} 关于直线 y = x {\displaystyle y=x} 的镜像。从概念上讲，使用 *盒子* 类比，函数的逆函数盒子 *撤销* 函数常规盒子的操作。

例子

f

(

x

)

=

2

x

{\displaystyle f(x)=2x\,}

f

−

1

(

x

)

=

1

2

x

{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{2}}x\,}

f

(

f

−

1

(

x

)

)

=

f

(

1

2

x

)

{\displaystyle f(f^{-1}(x))=f({\frac {1}{2}}x)\,}

f

(

f

−

1

(

x

)

)

=

2

(

1

2

x

)

{\displaystyle f(f^{-1}(x))=2({\frac {1}{2}}x)\,}

f

(

f

−

1

(

x

)

)

=

x

{\displaystyle f(f^{-1}(x))=x\,}

f

−

1

(

f

(

x

)

)

=

f

−

1

(

2

x

)

{\displaystyle f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x)\,}

f

−

1

(

f

(

x

)

)

=

1

2

(

2

x

)

{\displaystyle f^{-1}(f(x))={\frac {1}{2}}(2x)\,}

f

−

1

(

f

(

x

)

)

=

x

{\displaystyle f^{-1}(f(x))=x\,}

要找到函数的逆函数，请记住，当我们使用 f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} 作为 f {\displaystyle f} 的输入时，结果是 x {\displaystyle x} 。因此，首先写下 x = f ( f − 1 ( x ) ) {\displaystyle x=f\left(f^{-1}(x)\right)} 并求解 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 。

例子

Suppose:

f

(

x

)

=

2

x

+

1

{\displaystyle f(x)=2x+1\,}

Then

x

=

f

(

f

−

1

(

x

)

)

{\displaystyle x=f\left(f^{-1}(x)\right)}

x

=

2

f

−

1

(

x

)

+

1

{\displaystyle x=2f^{-1}(x)+1\,}

x

−

1

=

2

f

−

1

(

x

)

{\displaystyle x-1=2f^{-1}(x)\,}

f

−

1

(

x

)

=

x

−

1

2

{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x-1}{2}}\,}

逆函数的定义域与原函数的值域完全相同。如果原函数的值域受到某种限制，则逆函数需要一个受限的定义域。

例子

f

(

x

)

=

x

−

1

{\displaystyle f(x)={\sqrt {x-1}}\,}

x

=

f

(

f

−

1

(

x

)

)

{\displaystyle x=f\left(f^{-1}(x)\right)}

x

=

f

−

1

(

x

)

−

1

{\displaystyle x={\sqrt {f^{-1}(x)-1}}\,}

x

2

=

f

−

1

(

x

)

−

1

2

{\displaystyle x^{2}={\sqrt {f^{-1}(x)-1}}^{2}\,}

x

2

=

f

−

1

(

x

)

−

1

{\displaystyle x^{2}=f^{-1}(x)-1}

f

−

1

(

x

)

=

x

2

+

1

{\displaystyle f^{-1}(x)=x^{2}+1\,}

The Range of

f

(

x

)

{\displaystyle f(x)}

is

f

(

x

)

≥

0

{\displaystyle f(x)\geq 0}

. So the Domain of

f

−

1

(

x

)

{\displaystyle f^{-1}(x)}

is

x

≥

0

{\displaystyle x\geq 0}

.

一一函数[edit | edit source]

对于每个输入都存在一个唯一输出的函数。

等价地，我们可以说函数 f {\displaystyle f} 被称为 *一一函数*，如果对于所有 x , x ′ ∈ A , f ( x ) = f ( x ′ ) {\displaystyle x,x'\in A,f(x)=f(x')} 意味着 x = x ′ {\displaystyle x=x'} ，其中 *A* 是 *f* 的定义域集合，*x* 和 *x'* 都是该集合的成员。

水平线测试如果没有任何水平线与函数图交于一个以上的位置，则该函数为一一函数。

创建函数[edit | edit source]

在上一章中，我们回顾了你已经了解的数学知识：数字、变量和关系。我们回顾了数字的类型、对数字可以执行的操作、这些操作的性质以及这些性质如何让你写出表达式，或者如果我们对表达式足够了解，你可以写出定义真实事物的方程和不等式。

在上面的部分中，我们已经了解了函数的概念。首先，我们展示了如何在等号运算符的一侧创建函数，而在另一侧创建表达式。然后，我们查看了使用函数符号的更复杂方法。

一旦你习惯了它们，函数就会让你以不同的方式看待数学。当你用数字思考数学时，你只是在思考一个答案。当你用函数思考数学时，你是在寻找关系，并且你在建立数学模型。

举一个 3x3 平方格和对角线的例子。对角线上的三角形面积是多少？应用面积函数：l x w，然后应用一半函数。